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二叉树期权定价模型 - 欧式期权计算

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金融工程 期权定价 二叉树模型

二叉树期权定价模型

Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 二叉树模型 · 欧式期权精准定价 · 含希腊字母计算

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结果将在此处展示，包括期权价格、希腊字母及二叉树可视化

常见问题与知识点

二叉树期权定价模型由Cox、Ross和Rubinstein于1979年提出（简称CRR模型）。它将期权有效期划分为多个时间步，假设标的资产价格在每个步长内只有上涨或下跌两种可能。通过构建资产价格树，从到期日反向折现，计算出期权的理论价格。该模型直观易懂，是金融工程中最重要的数值定价方法之一。

欧式期权只能在到期日行权，二叉树计算时只需在最终节点计算 payoff 并向前折现即可。美式期权可在到期前任意时刻行权，因此在每个节点都需要比较立即行权的内在价值与继续持有（折现期望值）的大小，取较大者。这使得美式期权定价稍复杂，但二叉树模型天然支持美式期权的估值。

步数越大，精度越高。当 n→∞ 时，二叉树模型的结果收敛于Black-Scholes解析解。通常n≥50可获得较好的精度，n≥200时与BS公式差异极小。但步数过大会增加计算量。对于美式期权（无解析解），通常建议n≥100以获得稳定结果。本工具支持2-500步，默认50步在精度和性能间取得平衡。

CRR模型使用如下公式：
u = e^(σ√Δt)，d = 1/u = e^(-σ√Δt)
其中 Δt = T/n 为每步时间长度。这种设定保证了树的重组性（上涨后下跌与下跌后上涨到达同一节点），使节点数从2ⁿ降至O(n²)，大幅提高计算效率。同时u·d=1使树关于初始价格对称。

p = (e^(rΔt) - d) / (u - d) 是风险中性测度下的上涨概率。在风险中性世界中，所有资产以无风险利率增长，期权价格等于期望payoff按无风险利率折现。p并非真实世界的概率，而是保证无套利条件的数学构造。当p在(0,1)范围内时模型无套利，这要求d < e^(rΔt) < u。

Black-Scholes公式是二叉树模型在连续时间极限下的解析解。对于欧式期权，当步数趋于无穷时，二叉树价格收敛于BS价格。本工具同时展示BS参考价格，方便您对比。对于美式期权，BS公式无法直接应用（无解析解），二叉树模型则是业界常用的数值解法。

Delta (Δ)：期权价格对标的资产价格的敏感度，用于Delta对冲。Gamma (Γ)：Delta对标的资产价格的变化率，衡量Delta的稳定性。Theta (Θ)：时间衰减速度，通常为负值（长仓期权随时间损失价值）。Rho (ρ)：对无风险利率的敏感度。Vega：对波动率的敏感度（注意BS假设波动率恒定，Vega是重要的风险指标）。本工具通过二叉树有限差分法计算这些希腊字母。
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