蒙特卡洛模拟是一种通过大量随机采样来估计数值结果的数学方法。在金融中，它通过生成数千条（或更多）随机价格路径，来评估资产未来价格的可能分布、风险指标（如VaR）、以及衍生品定价。每条路径都是基于随机过程（如几何布朗运动）生成的独立情景。

几何布朗运动是股价建模中最经典的随机过程。其公式为 dS = μS dt + σS dW，其中 μ 是漂移率（预期收益率），σ 是波动率，dW 是维纳过程（服从正态分布的随机增量）。该模型确保股价始终为正，并假设对数收益率服从正态分布——这是Black-Scholes期权定价模型的基础假设。

波动率衡量股价的不确定性。美股大盘（如标普500）的年化波动率通常在 15%-25% 之间，个股可能在 30%-60%，而加密货币等高风险资产可达 80%-150%。历史波动率可以从过去1年的日收益率标准差年化计算得到：σ ≈ std(日收益率) × √252。

由于几何布朗运动产生的终值服从对数正态分布，该分布具有正偏态（右偏），即少数极高的异常值会拉高均值，而大多数路径的终值集中在较低水平。因此中位数通常低于均值。中位数路径公式为 S₀ × exp((μ − σ²/2)T)，而均值路径为 S₀ × exp(μT)——两者之差为 σ²/2 × T，这正是波动率拖累效应。

VaR (Value at Risk) 衡量在给定置信水平下的最大潜在损失。例如，5% VaR 表示在所有模拟路径中，有5%的终值低于该数值。如果初始投资100元，5% VaR为70元，意味着有95%的概率终值不低于70元（即最大损失不超过30元）。VaR是银行和基金公司常用的风险管理指标。

随机游走理论认为股价变动不可预测，今天的价格是明天价格的最佳预测。这与有效市场假说一致——所有已知信息已反映在当前价格中，未来价格变化仅由新信息（随机新闻）驱动。然而现实中市场并非完全有效，存在动量效应、均值回归等现象，因此GBM模型是一种理想化的近似。

1) 正态分布假设：GBM假设收益率服从正态分布，但真实市场存在"肥尾"现象（极端事件比正态分布预测的更频繁）。2) 恒定参数：波动率和收益率在现实中随时间变化（波动率聚集效应）。3) 无跳跃：模型不考虑股价的突然跳跃（如财报公布、突发事件）。4) 独立增量：假设每日收益相互独立，忽略了自相关性。对于更精确的建模，可考虑随机波动率模型（如Heston模型）或跳跃扩散模型。

步数越高，路径越平滑，模拟精度越高。常用设置：252步≈1年交易日（日频模拟）、52步≈每周、12步≈每月。对于期权定价，通常使用1000步以上以确保收敛。但步数过多会增加计算时间。实践中200-500步对可视化已足够。本工具默认252步以匹配日频交易节奏。

图表中的置信区间带（默认显示5%-95%分位数范围）表示在所有模拟路径中，有90%的路径在该区间内波动。带宽越宽说明不确定性越大。如果区间带在某个时间点急剧扩大，说明长期预测的不确定性显著增加——这是随机游走的典型特征：预测误差随时间的平方根增长。