利萨茹曲线（Lissajous Curve），也称谐振螺旋图，是由两个互相垂直的简谐振动合成得到的平面曲线。其参数方程为：
x(t) = A·sin(a·t + δ)，y(t) = B·sin(b·t)，其中 a 和 b 是频率，δ 是相位差。当频率比为有理数时，曲线闭合形成美丽的几何图案；加入衰减系数后，曲线呈现螺旋状，对应阻尼谐振子的运动轨迹。该曲线由法国数学家Jules Antoine Lissajous于1857年首次系统研究。

频率比 a:b 是决定利萨茹图形形状的核心因素：

• 1:1 — 产生椭圆（相位90°时为圆，相位0°时为直线）
• 1:2 — 蝴蝶形或抛物线形图案
• 2:3 — 形成复杂的嵌套星形结构
• 无理数比例（如1:√2）— 曲线永不闭合，密集填充矩形区域
• 频率比越简单（分子分母越小），图案越简洁；比例越复杂，图案越精细

在示波器应用中，通过观察利萨茹图形可以精确测量未知信号的频率。

相位差 δ 控制曲线在空间中的旋转方向和起始点：

• δ = 0° — 曲线从中心或边缘开始，对称分布
• δ = 90° — 1:1比例下形成标准圆形
• δ = 180° — 曲线翻转，与0°镜像对称
• 连续改变相位差，曲线会平滑旋转变形，产生动态视觉效果

在物理实验中，相位差反映了两个振动之间的时间延迟关系。

谐振螺旋图是本工具的特色模式。当衰减系数 > 0 时，振幅按指数衰减：
envelope = e−k·t，导致曲线逐渐向中心螺旋收缩。这模拟了阻尼谐振子的真实物理行为：

• 衰减=0 — 经典利萨茹曲线，振幅恒定，曲线稳定闭合
• 衰减=1~5 — 轻微螺旋，曲线缓慢收缩，呈现优雅的螺旋图案
• 衰减>10 — 快速衰减，曲线迅速向中心聚拢

这种模式在物理教学和振动分析中具有重要应用价值。

利萨茹曲线在多个领域有重要应用：

• 示波器频率测量 — 将未知信号与已知参考信号分别输入X/Y通道，通过图形判断频率比
• 物理实验教学 — 直观展示简谐振动合成原理
• 激光表演 — 利用振镜控制激光束绘制利萨茹图案
• 艺术与设计 — 生成对称优美的几何图案用于装饰
• 机械振动分析 — 检测机械系统中两个方向振动的耦合关系
• 量子物理 — 描述某些量子态的相空间分布

操作指南：

1. 选择预设 — 点击预设图案按钮快速体验经典比例
2. 调节参数 — 使用滑块实时调整频率、相位、振幅等
3. 螺旋效果 — 增加衰减系数观察谐振螺旋图
4. 颜色与样式 — 自定义曲线颜色、线宽和发光效果
5. 暂停/播放 — 控制动画运行状态
6. 下载PNG — 点击下载按钮保存当前画面为高清图片
7. 清除画布 — 擦除旧轨迹重新开始绘制

当频率比 a:b 为无理数时（如√2:1），曲线永远无法回到起点。这是因为：

• 曲线闭合的条件是存在时间T使得a·T和b·T都是2π的整数倍
• 即T = 2π·m/a = 2π·n/b，其中m、n为整数
• 这要求a/b = m/n为有理数
• 无理数比例无法表示为两个整数之比，因此曲线永不闭合
• 长时间运行后，曲线会密集填充整个矩形区域

这一性质在混沌理论和遍历理论中具有深刻意义。

谐振螺旋图直接对应阻尼谐振子的物理模型：

• 在经典力学中，弹簧振子受到阻尼力时，振幅随时间指数衰减
• 两个垂直方向的阻尼振动合成即形成螺旋状利萨茹曲线
• 欠阻尼（衰减系数适中）— 曲线螺旋多次后趋于静止
• 临界阻尼（衰减系数较大）— 曲线快速回到平衡位置
• 这种可视化帮助理解阻尼对振动系统的影响

在电子学中，RLC电路的瞬态响应也遵循相同的数学规律。