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分数转小数工具 - 显示循环节

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分数转小数 - 循环节识别

输入分数，自动计算小数展开并高亮显示循环节

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快捷示例：
输入分子和分母，点击计算查看结果
常见问题与知识点
什么是循环节（重复小数）？
当一个分数化为小数时，如果分母含有2和5以外的质因数，小数部分会无限重复某一段数字，这段重复的数字称为循环节（repetend）。例如 1/3 = 0.333...，循环节是"3"；1/7 = 0.142857142857...，循环节是"142857"。循环节是分数小数表示的核心特征，也是有理数区别于无理数的关键标志。
如何判断分数是有限小数还是无限循环小数？
判断方法：将分数化为最简分数后，看分母的质因数。如果分母只含有质因数2和5，则该分数可化为有限小数（如 1/8=0.125，分母8=2³）。如果分母含有2和5以外的质因数（如3、7、11等），则为无限循环小数（如 1/3=0.(3)，1/6=0.1(6)）。这个规律的原因是：十进制下，只有2和5能整除10的幂次。
循环节的长度有限制吗？有什么规律？
对于最简分数 a/b（b>0且与10互质），循环节长度等于使 10ᵏ ≡ 1 (mod b) 成立的最小正整数k。循环节长度最大不超过 b-1。例如 1/7 的循环节长度为6（=7-1，达到最大值），1/13 的循环节长度为6（<12），1/17 的循环节长度为16（=17-1）。当循环节长度恰好等于 b-1 时，b 必为质数且10是其原根。
什么是纯循环小数和混循环小数？
纯循环小数：小数点后第一位就开始循环，如 1/3=0.(3)、1/7=0.(142857)。其分母与10互质。
混循环小数：小数点后有若干位不循环的数字，之后才开始循环，如 1/6=0.1(6)、1/12=0.08(3)。其分母同时含有2或5以及其他质因数。非循环部分的位数等于分母中质因数2和5的较高幂次。
分数转小数使用什么算法？
本工具使用长除法（Long Division）模拟手工计算过程：用分子除以分母得到整数部分和余数，然后不断将余数乘以10再除以分母，得到每一位小数。同时用哈希表记录每个余数出现的位置，当余数重复出现时即找到循环节；当余数为0时小数终止（有限小数）。算法保证精确识别循环节，最多计算200位小数。
循环小数如何转回分数？
纯循环小数转分数：分子取循环节，分母取与循环节位数相同个数的9。如 0.(142857) = 142857/999999 = 1/7。
混循环小数转分数：分子 = 非循环部分+循环节 - 非循环部分（按位值），分母 = 先写循环节位数个9，再写非循环位数个0。如 0.1(6) = (16-1)/90 = 15/90 = 1/6。
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