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蒙提霍尔问题模拟器 - 三门游戏实验

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🚪 蒙提霍尔问题模拟器

三门游戏实验 — 换还是不换？用数据说话

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第 1 步：选择一扇门
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🎮 总游戏次数
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🔄 换门策略
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胜率: -
✋ 坚持策略
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胜率: -
📊 换门优势
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换门 vs 坚持
批量模拟实验

自动运行大量游戏，分别模拟"总是换门"和"总是坚持"两种策略，验证概率分布。

📋 模拟结果（共 0 次）
🔄 总是换门胜率 -
✋ 总是坚持胜率 -

📚 常见问题与知识点

蒙提霍尔问题源自美国电视游戏节目《Let's Make a Deal》，由主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）提出。游戏规则：参赛者面对三扇关闭的门，一扇后面有汽车（奖品），两扇后面有山羊。参赛者选择一扇门后，主持人（知道奖品位置）会打开剩下两扇门中有山羊的一扇，然后问参赛者是否换到另一扇未开的门。直觉上很多人认为换与不换概率各50%，但数学证明换门获胜概率为2/3，坚持为1/3。

关键在于主持人的行为不是随机的——他知道奖品在哪，故意打开一扇有山羊的门。初始选择时，你选到汽车的概率是1/3，选到山羊的概率是2/3。如果你初始选到山羊（概率2/3），主持人必须打开另一扇山羊门，剩下的那扇必然是汽车，换门就赢了。只有初始选到汽车（概率1/3）时换门才会输。因此换门=用初始1/3的错误概率交换2/3的正确概率。

最常见的误区是认为主持人开门后剩下两扇门，概率各50%。这个推理忽略了主持人行为的条件性——他不是随机开门，而是有策略地避开汽车。另一个误区是"两扇门就是五五开"的直觉，这在信息不完全对称时成立，但这里信息不对称（主持人知道答案）。用极端情况理解：如果有100扇门，你选1扇，主持人打开98扇山羊门，剩下1扇，你会换吗？

用贝叶斯定理：设事件A=初始选到汽车（P(A)=1/3），事件B=主持人打开某扇山羊门。在初始选到山羊的条件下，主持人只能打开特定的山羊门（P(B|¬A)=1），而初始选到汽车时主持人有两个山羊门可选（P(B|A)=1/2）。代入贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A)·P(A) / [P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A)] = (1/2×1/3) / (1/2×1/3 + 1×2/3) = 1/3。所以已知主持人开门后，你初始选到汽车的条件概率仍是1/3，换门概率2/3。

如果主持人随机开门且恰好开出山羊（没有开出汽车），那么剩下两扇门的概率确实各为1/2。因为此时主持人可能意外开出汽车（概率1/3），排除了这种情况后，条件概率对称分布。这恰恰说明了主持人知情是蒙提霍尔问题的核心条件——故意避开汽车改变了概率结构。

1990年，读者向《Parade》杂志的"Ask Marilyn"专栏提问，玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant，吉尼斯世界纪录最高IQ保持者）给出"应该换门"的回答，引发上万封抗议信，包括许多数学教授和博士。他们嘲笑她"搞错了概率"。但最终计算机模拟和数学证明都支持她的答案。这成为概率论史上最著名的公众辩论之一，也展示了人类直觉在条件概率面前的局限性。

使用本页面的批量模拟功能即可验证。只需设置模拟次数（建议1000次以上），系统会自动运行游戏并分别统计"换门"和"坚持"两种策略的胜率。大量模拟后你会发现：换门胜率稳定在约66.7%（2/3），坚持胜率约33.3%（1/3）。次数越多，结果越接近理论值——这是大数定律的体现。

推广到N扇门（1个奖品，N-1个山羊），参赛者选1扇，主持人打开剩下N-1扇中的N-2扇山羊门，留下1扇未开。此时：换门获胜概率 = (N-1)/N，坚持获胜概率 = 1/N。N=3时换门概率2/3≈66.7%；N=10时换门概率90%；N=100时换门概率99%。N越大，换门的优势越明显，这有力地说明了直觉的局限性。
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