二项分布计算器

二项分布（Binomial Distribution）是概率论中描述n次独立重复试验中成功次数的离散概率分布。每次试验只有两种可能结果（成功或失败），且每次试验成功的概率p保持不变。它是统计学中最基础的概率分布之一，广泛应用于质量控制、医学试验、市场调研等领域。二项分布由参数 n（试验次数）和 p（成功概率）完全确定，记作 X ~ B(n, p)。

二项分布必须满足以下四个条件：
① 固定试验次数：试验次数n是预先确定的固定值；
② 独立试验：每次试验结果互不影响，相互独立；
③ 两种结果：每次试验只有"成功"和"失败"两种互斥结果；
④ 恒定概率：每次试验成功的概率p保持恒定不变。
这本质上就是伯努利试验（Bernoulli Trial）的n次独立重复。

对于二项分布 X ~ B(n, p)：
均值（期望值）：E(X) = np
方差：Var(X) = np(1−p)
标准差：SD = √[np(1−p)]
例如，抛一枚公平硬币10次，期望正面次数为10×0.5=5次，方差为10×0.5×0.5=2.5。这些公式简洁优美，是二项分布最重要的性质之一。

当试验次数n足够大时，二项分布可以用正态分布来近似，这被称为棣莫弗-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace Theorem）。
近似条件：当 np ≥ 5 且 n(1−p) ≥ 5 时，B(n, p) ≈ N(np, np(1−p))。
在实际应用中，这个近似大大简化了计算。例如n=100, p=0.5时，可以用N(50, 25)来近似。对于大样本的二项分布问题，正态近似配合连续性校正能得到非常准确的结果。

二项分布的应用场景非常广泛：
🏭 质量控制：检测一批产品中的缺陷品数量；
🏥 医学试验：评估某种治疗方法的有效率；
📊 市场调研：调查消费者对产品的偏好比例；
🎲 赌博游戏：计算骰子、扑克等游戏中的胜率；
📧 A/B测试：比较两种营销策略的转化率；
🗳️ 民意调查：预测选举中的支持率。
任何涉及"是/否"、"成功/失败"的重复独立试验场景，都可以使用二项分布来建模分析。

PMF（概率质量函数）：P(X=k) 表示恰好获得k次成功的概率。在图表中显示为每根柱子的高度。
CDF（累积分布函数）：P(X≤k) 表示成功次数不超过k的概率，即从0到k的所有概率之和。
使用方法：设置试验次数n和成功概率p后，图表会自动展示完整的概率分布。如需查询特定k值的概率，只需在k输入框中填入目标值，即可看到P(X=k)、P(X≤k)和P(X≥k)的精确计算结果。您也可以使用预设按钮快速体验典型场景。