双摆混沌模拟 - Canvas实时物理演示

双摆是一个经典力学系统，由一个摆锤悬挂在另一个摆锤末端构成。上端摆锤连接在固定支点上，下端摆锤连接在上端摆锤的末端。尽管结构简单，双摆的运动却极其复杂，是混沌理论的经典演示模型——初始条件的微小差异会导致完全不同的运动轨迹。

双摆系统具有两个自由度（两个角度θ₁和θ₂），其运动方程是非线性耦合的二阶微分方程。非线性耦合意味着系统对初始条件极端敏感——这就是著名的"蝴蝶效应"。两个初始角度仅相差0.0001弧度的双摆，在几十秒内就会呈现出完全不同的运动模式。这种对初始条件的敏感依赖性正是混沌系统的核心特征。

双摆的运动方程可通过拉格朗日力学推导，得到关于θ₁''和θ₂''的耦合方程组：

(m₁+m₂)l₁θ₁'' + m₂l₂θ₂''cos(θ₁-θ₂) + m₂l₂θ₂'²sin(θ₁-θ₂) + (m₁+m₂)g sinθ₁ = 0
m₂l₂θ₂'' + m₂l₁θ₁''cos(θ₁-θ₂) - m₂l₁θ₁'²sin(θ₁-θ₂) + m₂g sinθ₂ = 0

本模拟器使用四阶Runge-Kutta方法（RK4）进行数值积分，具有较高的精度和能量守恒特性。

• 拖拽摆锤：直接用鼠标或手指拖拽摆锤末端，改变初始角度。暂停时拖拽更精确。
• 对比摆：开启后显示第二个摆锤，初始角度偏移仅0.0001弧度，直观展示混沌效应。
• 速度调节：使用滑块调整模拟速度（0.1× ~ 3×）。
• 轨迹颜色：蓝色表示摆锤速度较慢，红色表示速度较快。
• 清除轨迹：点击橡皮擦按钮清除所有轨迹线。

四阶Runge-Kutta方法（RK4）是一种高精度数值积分算法，用于求解常微分方程。与简单的欧拉方法相比，RK4每步计算四个中间斜率并加权平均，全局截断误差为O(h⁴)，远优于欧拉方法的O(h)。在双摆模拟中，RK4能够更好地保持能量守恒，减少数值漂移，使模拟结果更接近真实物理系统。