高尔顿板（Galton Board），又称弹珠板或梅花机，由英国统计学家弗朗西斯·高尔顿于19世纪发明。它是一个布满钉子阵列的垂直板，弹珠从顶部掉落，经过层层钉子的随机碰撞，最终落入底部槽位。大量弹珠的分布会自然形成正态分布（钟形曲线），直观展示了中心极限定理——大量独立随机事件的总和趋近于正态分布。这一发明深刻影响了统计学、物理学和金融学等领域。

正态分布（Normal Distribution）具有以下关键特征：
• 对称性：以均值μ为中心左右对称
• 钟形曲线：中间高、两边低，呈钟形
• 68-95-99.7法则：约68%的数据落在μ±1σ内，约95%落在μ±2σ内，约99.7%落在μ±3σ内
• 均值=中位数=众数：三者重合于分布中心
在高尔顿板中，N行钉子对应二项分布B(N,0.5)，当N足够大时（通常N≥10），分布就非常接近正态分布。

在高尔顿板中，每颗弹珠经过N行钉子，每行随机向左或向右（概率各50%），这等价于N次独立的伯努利试验。弹珠落入槽位k的概率精确遵循二项分布：P(k)=C(N,k)×(0.5)^N。根据棣莫弗-拉普拉斯定理（中心极限定理的特例），当N足够大时，二项分布B(N,p)可以用正态分布N(Np, Np(1-p))来近似。这就是为什么高尔顿板底部会呈现完美的钟形曲线。

中心极限定理（CLT）是统计学最重要的定理之一。它指出：大量独立同分布的随机变量之和（或均值），其分布趋近于正态分布，无论原始分布是什么形状。高尔顿板完美展示了这一点——每层钉子的碰撞是独立的伯努利试验，N次碰撞的总偏移量决定了弹珠的最终位置。当N增大时，分布越来越接近完美的正态分布。这就是为什么正态分布在自然界和社会科学中无处不在（身高、体重、测量误差、考试成绩等）。

建议按以下步骤操作：
1️⃣ 保持默认12行钉子，先点击"1颗"几次，观察单颗弹珠的随机路径
2️⃣ 开启"自动投放"模式，观察柱状图如何逐渐形成钟形
3️⃣ 点击"1000颗"瞬间生成大量弹珠，对比红色理论曲线与实际分布的吻合度
4️⃣ 调整钉子行数（6-18行），观察行数增多时分布如何变化（更多行→更平滑的正态分布）
5️⃣ 勾选/取消"显示理论曲线"来对比理论与实际的差异