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向量计算器 - 点积/叉积/模长/夹角

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维度：
向量 A Vector A
x
y
z
⊗
向量 B Vector B
x
y
z
点积 · Dot Product
—
叉积 · Cross Product
—
模长 |A| & |B|
—
夹角 · Angle
—
计算步骤
输入向量分量后将自动显示计算步骤...
常见问题与向量知识

点积 A·B = |A|×|B|×cosθ，几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影长度乘以另一个向量的模长。当点积为0时，两向量垂直；点积为正时，夹角小于90°（锐角）；点积为负时，夹角大于90°（钝角）。在物理中，功的计算就是力与位移的点积。

3D叉积的结果是一个垂直于两个向量所在平面的新向量，其模长等于以两个向量为邻边的平行四边形的面积（|A×B| = |A|×|B|×sinθ）。方向遵循右手定则。

2D叉积返回一个标量（即z分量）：A×B = x₁y₂ - y₁x₂，其绝对值等于平行四边形面积，正负号表示旋转方向（正值为逆时针，负值为顺时针）。在计算机图形学中广泛用于判断点与线段的位置关系。

2D向量模长：|A| = √(x² + y²)，3D向量模长：|A| = √(x² + y² + z²)，这其实就是勾股定理（欧几里得距离）的推广。

当所有分量都为0时，称为零向量，模长为0，方向未定义。零向量与任何向量的点积为0，叉积也为零向量。计算夹角时，若任一向量为零向量，则夹角无意义。

垂直判断：点积为0 ⇔ A⊥B（两向量垂直）。例如A=(1,2), B=(-2,1)，点积=1×(-2)+2×1=0，垂直。
平行判断：3D中叉积为零向量 ⇔ A∥B；2D中叉积标量为0 ⇔ A∥B。也可通过分量比例判断：若A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂)，当x₁/x₂ = y₁/y₂时两向量平行（共线）。

夹角公式：θ = arccos((A·B) / (|A|×|B|))，结果范围为[0°, 180°]（即[0, π]弧度）。
换算关系：角度 = 弧度 × 180/π，弧度 = 角度 × π/180。
π ≈ 3.141592653589793，1弧度 ≈ 57.2958°，1° ≈ 0.0174533弧度。由于浮点精度限制，计算时需将点积/模长积的值钳制在[-1, 1]范围内。

叉积不满足交换律，而是反交换：A×B = -(B×A)，交换顺序后结果方向相反。
点积满足交换律：A·B = B·A。
其他重要性质：A×A = 0（自身叉积为零向量）；叉积满足分配律：A×(B+C) = A×B + A×C；标量结合律：(kA)×B = A×(kB) = k(A×B)。
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