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向量点积与叉积计算器 - 2D/3D 向量

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📐 向量点积 & 叉积计算器

支持 2D / 3D 向量 · 实时计算 · 可视化展示

向量 A
x
y
向量 B
x
y
🔹 点积 (Dot Product)
11
A · B
🔸 叉积 (Cross Product)
2
标量 (有向面积)
📏 向量模长
|A| = 5 |B| = 2.236
📐 夹角 θ
10.3°
0.180 rad
🔸 叉积向量详情
A×B = (-, -, -) |A×B| = -
垂直于A和B所在平面，方向遵循右手定则
向量A   向量B   叉积 · 弧形表示夹角

📚 常见问题与知识点

什么是向量点积（Dot Product）？
点积（也称为内积、标量积）是两个向量对应分量乘积之和。对于向量 A=(a₁,a₂,a₃) 和 B=(b₁,b₂,b₃)，点积为：
A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
几何意义：A·B = |A|×|B|×cos(θ)，表示一个向量在另一个向量方向上的投影长度与另一个向量模长的乘积。结果为标量（数值）。
什么是向量叉积（Cross Product）？
叉积（也称为外积、向量积）是两个向量的运算，结果为向量（3D）或标量（2D）。
3D叉积：结果向量垂直于两个输入向量所在平面，方向由右手定则确定。模长 |A×B| = |A|×|B|×sin(θ)，等于两向量围成平行四边形的面积。
2D叉积：结果为标量 A×B = a₁b₂ − a₂b₁，正值表示B在A的逆时针方向。
2D叉积和3D叉积有什么区别？
在2D中，叉积退化为一个标量（伪标量），计算公式为 a₁b₂ − a₂b₁，其绝对值等于两向量所张成平行四边形的面积，符号表示方向（正=逆时针，负=顺时针）。
在3D中，叉积是一个完整的向量，有大小和方向，垂直于两个输入向量所在平面。
点积为零说明什么？
当 A·B = 0 时，说明两个向量垂直（正交）。因为 cos(90°)=0，所以点积为零。这是判断向量是否垂直的常用方法，在计算机图形学、物理力学分析中广泛应用。
叉积为零说明什么？
当叉积为零（3D中为零向量，2D中标量为0）时，说明两个向量平行（共线）。因为 sin(0°)=sin(180°)=0，所以叉积模长为零。叉积为零意味着两个向量方向相同或相反。
如何通过点积计算向量夹角？
夹角公式：θ = arccos((A·B) / (|A|×|B|))
即点积除以两个向量模长的乘积，再取反余弦。结果范围为 0°到180°（0到π弧度）。注意当任一向量为零向量时，夹角无定义。
叉积的几何意义是什么？
3D叉积：结果向量的模长等于两个向量所张成平行四边形的面积；方向垂直于该平行四边形所在平面，遵循右手定则（四指从A转向B，拇指指向即为叉积方向）。
2D叉积：标量的绝对值等于平行四边形面积，符号表示旋转方向。
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