UD5工具箱
什么是点积？它有什么用途？
点积（Dot Product）是两个向量对应分量乘积的总和。对于向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，点积 = a1×b1 + a2×b2 + a3×b3。点积的结果是一个标量（数字），它的几何意义是：A·B = |A||B|cos(θ)，其中θ是两向量夹角。用途包括：判断两向量是否正交（点积为0则垂直）、计算投影、判断方向一致性等。在物理学中，功 W = F·d（力与位移的点积）。
什么是叉积？它有什么用途？
叉积（Cross Product）是两个向量的外积，结果是一个新向量。对于向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，叉积 = (a2×b3-a3×b2, a3×b1-a1×b3, a1×b2-a2×b1)。叉积的结果向量垂直于A和B所在平面，方向由右手法则确定。叉积的模长等于以A和B为邻边的平行四边形面积。用途包括：计算面积、判断共面性、物理学中的力矩和角动量计算。
2D向量可以计算叉积吗？
严格来说，叉积只在3D空间中有定义。但可以将2D向量嵌入到3D空间（z分量设为0）来计算叉积，结果的z分量就是2D叉积值。这个z分量的正负可以判断两个2D向量的旋转方向（顺时针或逆时针），在计算多边形面积和判断点在线段哪一侧时非常有用。
点积和叉积的结果有什么区别？
点积结果是标量（一个数字），反映两向量的方向相似程度。叉积结果是向量，反映两向量的垂直方向信息。点积为零表示向量垂直，叉积为零向量表示向量平行。在物理学中，点积用于计算功和能量，叉积用于计算力矩和角动量。
如何判断两个向量是否垂直？
两个向量垂直（正交）的充要条件是它们的点积为零。即 A·B = 0 表示向量A和B垂直。这是因为 cos(90°) = 0，而 A·B = |A||B|cos(θ)，当θ=90°时点积为零。这是判断向量正交性最简单的方法。
模长是如何计算的？
向量的模长（长度）计算方法是：各分量的平方和再开平方根。对于2D向量 (x,y)，模长 = √(x²+y²)。对于3D向量 (x,y,z)，模长 = √(x²+y²+z²)。这是勾股定理在多维空间的推广。单位向量就是将原向量除以其模长得到的模长为1的向量。
向量夹角是如何计算的？
利用点积公式 A·B = |A||B|cos(θ) 可以反推夹角：θ = arccos(A·B / (|A|×|B|))。本工具会自动计算并以度数（°）显示结果。夹角范围为0°到180°。当夹角为0°时两向量同向，90°时垂直，180°时反向。