离散傅里叶变换（DFT, Discrete Fourier Transform）是将离散时域信号转换为离散频域表示的数学工具。它揭示了信号中包含的各个频率成分的幅度和相位信息。

数学公式： X[k] = Σ_n=0^N-1 x[n] · e^{-j·2π·k·n/N}

其中 x[n] 是时域采样序列，X[k] 是频域复数结果，N 是采样点数。DFT 在数字信号处理、音频分析、图像处理、通信系统等领域有广泛应用。

FFT（快速傅里叶变换）是计算 DFT 的一种高效算法，而非不同的变换。DFT 直接计算的时间复杂度为 O(N²)，而 FFT 利用对称性和周期性将复杂度降至 O(N·log N)。当 N 较大时（如 N≥1024），FFT 的速度优势极为显著。本工具使用直接 DFT 算法以便于理解原理，适合小规模演示。

频谱泄漏发生在信号频率不是 DFT 频率分辨率整数倍时。原本应集中在单一频点的能量会"泄漏"到相邻频率 bins 中，导致频谱展宽。

减少方法：

• 增加采样点数 N：提高频率分辨率，使信号频率更接近整数倍频点
• 使用窗函数：如汉宁窗(Hanning)、汉明窗(Hamming)、布莱克曼窗(Blackman)等，可有效抑制旁瓣
• 同步采样：使采样时长恰好为信号周期的整数倍

在本工具中，尝试设置非整数频率（如 2.5Hz）即可观察到频谱泄漏现象。

奈奎斯特频率 f_Nyquist = f_s / 2，即可正确采样的最高频率。根据奈奎斯特-香农采样定理，要无失真地重建信号，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。

如果信号包含超过奈奎斯特频率的成分，会发生混叠(aliasing)——高频成分被错误地映射到低频区域，造成无法恢复的失真。本工具频域图仅显示 0 到 f_s/2 的范围。

对于实数信号（实际应用中大多数信号），DFT 结果呈现共轭对称性：|X[k]| = |X[N-k]|，相位满足 ∠X[k] = -∠X[N-k]。

这意味着幅度谱关于 N/2 对称，因此通常只需关注前 N/2+1 个频率点（0 到 f_s/2）。后半部分的信息是冗余的。本工具的频域图仅展示 0 到奈奎斯特频率范围。

频率分辨率 Δf = f_s / N，即相邻频率 bin 之间的间隔。它决定了 DFT 能区分的最小频率差异。

提高分辨率的方法：

• 增加采样点数 N：在固定采样频率下，N 越大 → 观测时间越长 → 分辨率越精细
• 降低采样频率 f_s：在固定 N 下，f_s 越低 → 观测时间越长 → 分辨率越精细（但奈奎斯特频率也降低）

在本工具中，切换不同的采样点数 N 可以直观感受分辨率的变化。