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正弦/余弦定理计算器 - 任意三角形

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📐 正弦/余弦定理计算器

计算任意三角形的边、角、面积等

a b c A B C
▲ 三角形可视化（颜色对应边和角）
计算结果
选择模式，输入已知值，点击计算

📖 常见问题与知识点

🔍 正弦定理是什么？
正弦定理：在任意三角形中，各边与其对角的正弦值之比相等，且等于外接圆直径。
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
其中 R 为三角形外接圆半径。正弦定理适用于已知两角一边（ASA/AAS）或两边一对角（SSA）的情况。
📏 余弦定理是什么？
余弦定理（广义勾股定理）：
a² = b² + c² − 2bc·cos(A)
b² = a² + c² − 2ac·cos(B)
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)
余弦定理适用于已知三边（SSS）或两边夹角（SAS）的情况。当角度为90°时，cos(90°)=0，退化为勾股定理。
⚠️ 什么是SSA的"歧义情况"（Ambiguous Case）？
当已知两边和其中一边的对角（SSA）时，可能出现0个、1个或2个有效三角形：
• 若已知角A为锐角且对边a < b·sin(A)：无解
• 若a = b·sin(A)：一解（直角三角形）
• 若b·sin(A) < a < b：两解（锐角+钝角）
• 若a ≥ b：一解
这正是SSA被称为"歧义情况"的原因，本计算器会自动检测并展示所有可能解。
📐 如何用海伦公式计算三角形面积？
海伦公式仅需三边长度即可计算面积：
半周长 s = (a + b + c) / 2
面积 S = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
此外，面积也可用两边夹角公式：S = ½·b·c·sin(A)
🔄 三角形内角和是多少？
任意三角形的三个内角之和恒为 180°（π弧度）。这是三角形的基本性质，也是ASA/AAS模式计算的基础：已知两角即可求第三角 C = 180° − A − B。
📏 三角形不等式是什么？
三角形存在的必要条件：任意两边之和大于第三边。
即：a + b > c，a + c > b，b + c > a。如果输入的三边不满足此条件，则无法构成三角形。
🎯 外接圆半径和内切圆半径怎么求？
外接圆半径：R = a / [2·sin(A)] = abc / (4S)
内切圆半径：r = S / s，其中s为半周长，S为面积。
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