复数计算器 - 四则运算及极坐标转换

复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位（满足 i² = -1）。a 称为实部（Real Part），b 称为虚部（Imaginary Part）。复数扩展了实数域，使得所有多项式方程都有解。在复平面上，实部对应横轴（实轴），虚部对应纵轴（虚轴），每一个复数都对应复平面上的一个点。

加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i —— 实部与实部相加，虚部与虚部相加。
减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i —— 同理，实部减实部，虚部减虚部。
乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i —— 使用分配律展开，并利用 i² = -1 化简。
除法：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i —— 分子分母同乘以分母的共轭复数。

复数的极坐标形式表示为 r∠θ 或 r(cos θ + i sin θ)，其中 r = √(a² + b²) 称为模长（magnitude），表示复数在复平面上到原点的距离；θ = atan2(b, a) 称为辐角（argument），表示从正实轴逆时针旋转到该点所在射线的角度。极坐标形式在乘法、除法、幂运算中特别方便——模长相乘/除，辐角相加/减。

给定复数 a + bi：
① 模长：r = √(a² + b²)（使用勾股定理）；
② 辐角：θ = atan2(b, a)，即 b/a 的反正切值，但需根据 a 和 b 的符号确定所在象限。atan2 函数自动处理象限问题，返回值范围在 (-π, π] 即 (-180°, 180°]。
③ 极坐标形式：r ∠ θ。
例如：3+4i → r=5, θ≈53.13°，即 5∠53.13°。

辐角主值（Principal Argument）是复数辐角在某个约定区间内的唯一取值。最常用的辐角主值区间是 (-π, π]（即 -180° 到 180°，含180°不含-180°）。对于正实数（如 5+0i），辐角主值为 0；对于正虚数（如 0+3i），辐角主值为 π/2（90°）；对于负实数（如 -4+0i），辐角主值为 π（180°）；对于负虚数（如 0-2i），辐角主值为 -π/2（-90°）。本计算器遵循此约定。

当分母复数的实部和虚部同时为零（即 c=0 且 d=0）时，分母为零，除法无法进行。本计算器会检测这种情况并提示"除数不能为零"的错误信息。如果只是实部为零或只是虚部为零（例如分母为纯虚数 0+2i），除法仍然可以有效计算，因为 c²+d² ≠ 0。

极坐标形式在多个领域有重要应用：
• 电气工程：交流电路分析中的阻抗和相量计算；
• 信号处理：傅里叶变换中的频谱表示（幅度和相位）；
• 控制系统：频率响应分析（幅频特性和相频特性）；
• 量子力学：波函数的复数表示；
• 振动分析：简谐运动的振幅和相位描述。极坐标形式使得乘法和幂运算变得非常简单（模长相乘、辐角相加），在工程计算中极为实用。

度（°）：日常生活和工程实践中更直观，一个圆周为360°。适合需要直观理解角度的场景。
弧度（rad）：数学和物理理论计算中的标准单位，一个圆周为2π rad。弧度在微积分和级数展开中更自然。
换算关系：180° = π rad，即 1° = π/180 rad ≈ 0.01745 rad，1 rad = 180/π° ≈ 57.296°。本计算器默认使用度数，您可以根据需要切换。