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复平面绘制器 - 绘制复数和运算

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z₁ z₂ 运算结果 拖动点 · 拖拽平移 · 滚轮缩放 · 双击重置
复数输入
z₁
Re
Im
模: 3.61 ∠ 33.7°
z₂
Re
Im
模: 3.16 ∠ 71.6°
运算类型
运算结果 z₁ + z₂
4 + 5i
模: 6.40 ∠ 51.3°
预设：
常见问题与复数知识
什么是复平面（Argand图）？
复平面，又称Argand图，是由数学家Jean-Robert Argand提出的可视化工具。它将复数表示为平面上的点：横轴（x轴）代表实部，纵轴（y轴）代表虚部。复数 a + bi 对应坐标为 (a, b) 的点，使得抽象的复数运算具备了直观的几何意义。
复数加法的几何意义是什么？
复数加法遵循平行四边形法则（或三角形法则）。将两个复数视为从原点出发的向量，它们的和等于以这两个向量为邻边所作平行四边形的对角线。这与二维向量加法完全一致：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
复数乘法的几何解释？
复数乘法具有优美的几何意义：模长相乘，辐角相加。即 |z₁×z₂| = |z₁|×|z₂|，而 arg(z₁×z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)。这意味着乘以一个复数相当于对原向量进行旋转+缩放操作。例如，乘以 i（模为1，辐角90°）就是逆时针旋转90度。
什么是复数的模和辐角？
模（modulus）：复数到原点的距离，|a+bi| = √(a²+b²)，表示向量长度。
辐角（argument）：从正实轴逆时针旋转到该复数向量的角度，通常用弧度或角度表示，记作 arg(z)。辐角在乘法运算中相加，体现了旋转的本质。
单位圆在复平面中有什么特殊意义？
单位圆（半径为1的圆）上的复数模长为1，形如 eiθ = cosθ + i sinθ（欧拉公式）。这些复数在乘法中充当纯旋转算子——乘以单位圆上的复数不会改变原复数的模长，只改变其辐角。单位圆是理解复数乘法和欧拉恒等式 eiπ+1=0 的关键。
如何使用这个工具？
修改复数：在右侧面板直接输入实部和虚部，或在画布上拖拽彩色圆点来改变复数值。
切换运算：点击加/减/乘/除按钮，橙色结果向量会实时更新。
视图操作：鼠标拖拽空白区域平移，滚轮缩放，双击重置视图。移动端支持手势操作。
辅助显示：可切换网格、单位圆、向量箭头和辅助线（如平行四边形）的显示。
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