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泊松分布计算器 - 概率与图表

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泊松分布计算器 P(X=k) = λᵏe⁻λ / k!
参数设置
0.5 1 3 5 8 12
λ > 0
拖动滑块或输入数值，λ 表示事件的平均发生率
k ∈ ℕ₀
也可点击下方图表中的柱子来选择 k 值
P(X = k)
—
概率质量函数
P(X ≤ k)
—
累积分布（下尾）
P(X > k)
—
上尾概率
期望 E[X]
—
方差 Var(X) = λ
P(X ≥ k)
—
至少k次
P(X < k)
—
少于k次
标准差 σ
—
σ = √λ
众数
—
最可能发生次数
概率分布图 概率质量 选中 k=3
常见问题与知识点

泊松分布（Poisson Distribution）是一种描述在固定时间或空间内，某事件发生次数的离散概率分布。它由法国数学家西莫恩·德尼·泊松于1838年提出。其核心假设是事件以恒定的平均速率独立发生。公式为：P(X=k) = (λᵏ · e⁻λ) / k!，其中 λ 是单位时间内的平均发生次数。

λ 是泊松分布的核心参数，表示在给定时间或空间区间内事件发生的平均次数。它同时等于分布的期望值 E[X] 和方差 Var(X)。例如，如果某路口平均每小时通过30辆车（λ=30），那么任意一小时内通过恰好25辆车的概率就可以用泊松分布计算。
泊松分布广泛应用于：
• 客服中心：预测每分钟呼入电话数量
• 网站流量：每秒到达的访问请求数
• 质量控制：每平方米布料上的瑕疵点数
• 保险精算：特定时期内理赔事件的发生次数
• 生物学：显微镜下每视野中的细菌数量
• 交通工程：单位时间内通过某路段的车辆数

当二项分布的试验次数 n 很大（n→∞），成功概率 p 很小（p→0），且 np = λ 保持不变时，二项分布趋近于泊松分布。这就是泊松极限定理。在实际应用中，当 n≥20 且 p≤0.05 时，泊松分布可以很好地近似二项分布，大大简化计算。

1. 设置 λ（使用预设按钮、滑块或直接输入）
2. 选择 k 值（使用 +/- 按钮、直接输入或点击图表柱子）
3. 右侧卡片实时显示各项概率结果
4. 图表中红色柱子标记当前选中的 k 值，直观展示其在分布中的位置
5. 所有计算实时更新，无需手动提交

这是泊松分布的一个优美性质。从数学推导：E[X] = Σ k·P(X=k) = λ，Var(X) = E[X²] - (E[X])² = λ。这意味着均值等于方差，这一特性可用于判断数据是否适合用泊松分布建模——如果样本均值和方差相差很大，泊松分布可能不是合适的选择。

当 λ 较大（通常 λ≥20）时，泊松分布的形状趋近于正态分布 N(λ, λ)。这一性质源于中心极限定理。此时可以用正态分布来近似计算概率：P(X≤k) ≈ Φ((k+0.5-λ)/√λ)，其中 Φ 是标准正态分布的累积分布函数，+0.5 是连续性校正。
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