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万花尺绘制工具 - 经典螺旋曲线生成

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常见问题与知识点

万花尺是一种经典的几何绘图工具，由英国工程师Denys Fisher在1965年发明。它利用齿轮啮合原理，通过一个小圆（齿轮）在大圆（轨道）内部或外部滚动，笔尖固定在小圆上某一点，从而绘制出精美的螺旋曲线图案。数学上属于内摆线（Hypotrochoid）和外摆线（Epitrochoid）曲线族。

R（大圆半径）：固定不动的外圈轨道半径。决定了图案的整体大小。
r（小圆半径）：在大圆内部或外部滚动的小齿轮半径。r与R的比例决定了图案的"花瓣"数量。
d（笔距）：笔尖到小圆心的距离。这是最有趣的参数——当d<r时笔在小圆内部，图案柔和圆润；当d>r时笔超出小圆边缘，图案更加尖锐、出现交叉和环状结构。改变d值可以产生截然不同的视觉效果。

内摆线（Hypotrochoid）：小圆在大圆内部滚动，图案始终被限制在大圆范围内，通常更加紧凑、对称。经典万花尺大多使用内摆线。
外摆线（Epitrochoid）：小圆在大圆外部滚动，图案向外延伸，通常更大、更松散，产生独特的星形或花瓣外扩效果。两种模式各有特色，建议都尝试一下！

图案闭合的条件是 r/R 为有理数（即两个半径的比值为分数）。具体来说，如果 gcd(R,r)=g（最大公约数），那么小圆绕大圆滚动 r/g 圈后曲线闭合。本工具中，您可以增大"旋转圈数"参数让曲线多次循环，自然形成闭合图案。如果图案看起来"乱糟糟的"，尝试调整圈数为 r÷gcd(R,r) 的整数倍。工具内置的预设图案都经过计算，确保完美闭合。

彩虹渐变模式下，曲线颜色会随着绘制进度在色相环上平滑过渡。您可以选择色相的起始角度（0°为红色，120°为绿色，240°为蓝色，360°回到红色）。默认0°-360°覆盖完整彩虹。色相使用HSL颜色空间计算，保证饱和度和亮度一致，视觉效果鲜艳且协调。您可以将多个彩虹图层叠加，创造出令人惊叹的绚丽图案！

点击"下载PNG"按钮即可将当前画布保存为高清PNG图片。图片分辨率会根据屏幕自动优化（支持Retina高清屏）。所有可见图层都会被包含在下载的图片中。您可以将作品用于壁纸、印刷品、社交媒体分享，或作为设计素材。提示：白色背景的PNG非常适合打印和二次编辑。

万花尺曲线属于旋轮线（trochoid）家族，其数学方程简洁而优雅。内摆线参数方程：x=(R-r)cos(t)+d·cos((R-r)/r·t)，y=(R-r)sin(t)-d·sin((R-r)/r·t)。当d=r时退化为内摆线（hypocycloid），当R=2r时产生椭圆，当R/r为整数时图案呈现完美的旋转对称性。这些曲线与天文学中的行星轨道、齿轮设计、以及分形几何都有着深刻的联系。万花尺是数学可视化最美的例子之一。
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