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万花尺绘制工具 - 经典螺旋曲线生成

教育工具 趣味工具 万花尺 曲线 绘画
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「万花尺」：一种通过在固定圆内滚动小圆来绘制复杂周期性曲线的数学绘图工具，英文名称为Spirograph，也被称为「几何绘图器」或「万花图案尺」，是经典数学教育玩具的代表。「内摆线」（Hypocycloid）：当小圆在大圆内部无滑动地滚动时，固定在小圆上的某一点所描绘出的轨迹曲线，其参数方程为x=(R-r)cosθ+d·cos((R-r)θ/r)，y=(R-r)sinθ-d·sin((R-r)θ/r)，当d=r时得到标准内摆线。「外摆线」（Epicycloid）：当小圆在大圆外部无滑动地滚动时，固定在小圆上的某一点所描绘出的轨迹曲线，与内摆线相对应，公式形式类似但参数符号有所不同，外摆线的图案通常呈向外扩张的放射状。「次摆线」（Hypotrochoid）：当画笔距离d小于小圆半径r时，在大圆内部滚动产生的变体摆线，呈现出更加柔和的波浪状形态，是万花尺中最常用且最受欢迎的曲线类型之一。「长幅摆线」：当画笔距离d大于小圆半径r时产生的变体摆线，曲线会呈现出向外突出的尖角特征，视觉效果较为锐利。「闭合条件」：当滚动圆半径r与轨道圆半径R的比值r/R为有理数时，绘制的曲线经过有限次滚动后会回到起点形成闭合图形；若r/R为无理数则曲线永远不会闭合。「旋轮线族」：内摆线、外摆线及其各种变体曲线的统称，涵盖了万花尺能够绘制的所有曲线类型。「轨道圆」：固定不动的大圆环，小圆在其内侧或外侧滚动，其半径R决定了图案的最大外径尺寸。「滚动圆」：在轨道圆上做无滑动滚动的小圆，其半径r和滚动方式共同决定了图案的对称性和基本形状特征。「偏移量」：画笔绑定点到滚动圆圆心之间的距离d，该参数直接影响曲线的振幅大小和整体形态特征。
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