阶乘是所有小于及等于该数的正整数的乘积，记作 n!。

数学定义：n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 3 × 2 × 1

例如：5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

特别规定：0! = 1（空乘积约定为 1，这在组合数学中非常重要）。

0! = 1 是基于空乘积的数学约定。可以从以下几个角度理解：

• 排列数公式：从 n 个元素中选取 k 个的排列数 P(n,k) = n!/(n−k)!。当 n=k 时，P(n,n) = n!/0! = n!，因此 0! 必须等于 1 才能使公式自洽。
• 递推关系：n! = n × (n−1)!，当 n=1 时，1! = 1 × 0!，即 1 = 1 × 0!，所以 0! = 1。
• 伽马函数：Γ(1) = 0! = 1，这与阶乘的连续扩展一致。

阶乘是超指数增长的函数，增长速度极快：

• 10! = 3,628,800（约 3.6 × 10⁶，7位）
• 20! ≈ 2.43 × 10¹⁸（19位）
• 50! ≈ 3.04 × 10⁶⁴（65位）
• 100! ≈ 9.33 × 10¹⁵⁷（158位）
• 1000! ≈ 4.02 × 10²⁵⁶⁷（2568位）
• 10000! ≈ 2.85 × 10³⁵⁶⁵⁹（35660位）

斯特林公式给出了阶乘的渐近近似：n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ，可用于估算大数阶乘的数量级。

本工具上限为 n = 10,000。对于 10,000!，结果多达 35,660 位数字，使用 JavaScript BigInt 进行精确计算。

对于 n ≤ 1000，计算几乎瞬间完成；n 在 1000~5000 之间需要数十到数百毫秒；n=10000 可能需要 1~3 秒，请耐心等待。

如果需要计算更大的阶乘（如 n=100,000），建议使用专业数学软件（如 Mathematica、Maple、Python 的 sympy 等）。

n! 末尾零的个数等于 n! 中因子 5 的个数（因为因子 2 总是比因子 5 多）。使用勒让德公式：

Z = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ⌊n/625⌋ + ...

例如 n=100：⌊100/5⌋=20，⌊100/25⌋=4，⌊100/125⌋=0，总和 24 个零。

本工具会在结果中自动计算并显示末尾零的个数。

• 排列与组合：n 个不同元素的排列数为 n!，从 n 个中选 k 个的组合数为 C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)。
• 概率论：阶乘出现在二项分布、泊松分布等概率模型中。
• 泰勒级数：许多函数的泰勒展开式中包含阶乘项，如 eˣ = Σ(xⁿ/n!)。
• 数论：阶乘与素数分布、威尔逊定理等数论问题密切相关。
• 算法分析：许多算法的时间复杂度涉及阶乘（如旅行商问题的暴力解法 O(n!)）。

双阶乘（记作 n!!）是隔位相乘：

• 当 n 为奇数时：n!! = n × (n−2) × (n−4) × ... × 1
• 当 n 为偶数时：n!! = n × (n−2) × (n−4) × ... × 2

例如：7!! = 7×5×3×1 = 105；8!! = 8×6×4×2 = 384。

双阶乘常见于球坐标体积积分、沃利斯公式等场景。本工具目前仅支持标准阶乘 n!。