UD5工具箱
阶乘（Factorial）
阶乘是数学中一个基础运算，用符号「n!」表示，定义为从 1 到 n 所有正整数的乘积，即 n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1。特别地，0! = 1 是数学约定。阶乘在组合数学、概率论、数论等领域有广泛应用，是计算排列数和组合数的基础。在本工具中，阶乘是核心计算对象，用户输入非负整数 n，工具返回 n! 的精确结果。
排列（Permutation）
排列是指从 n 个不同元素中取出 k 个元素，并按照一定顺序排成一列的方法数，记作 P(n,k) 或 nPk。排列数的计算公式为 P(n,k) = n! / (n-k)!，其中阶乘是核心运算。当 k = n 时，P(n,n) = n!，即全排列。排列概念是理解阶乘在实际问题中应用的重要桥梁，例如安排座位顺序、密码组合等场景都需要用到排列计算。
组合（Combination）
组合是指从 n 个不同元素中取出 k 个元素组成一组（不考虑顺序）的方法数，记作 C(n,k) 或 nCk。组合数的计算公式为 C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!)，同样以阶乘为核心运算。与排列不同，组合不关心元素的排列顺序。组合在概率论、统计学和日常生活中都有广泛应用，例如从班级中选出委员会成员、计算彩票中奖概率等。
BigInt
BigInt 是 JavaScript 中用于表示任意精度整数的内置数据类型，可以存储超出 Number 类型安全整数范围（±2⁵³）的整数。在阶乘计算中，BigInt 的重要性不言而喻——100! 已经有 158 位数字，远远超过了普通浮点数的表示能力。本工具使用 BigInt 进行所有乘法运算，确保从 0! 到 10000! 的每一个结果都是精确无误的，不会出现溢出或精度丢失。BigInt 是现代浏览器的原生特性，无需额外库支持。
斯特林公式（Stirling's Approximation）
斯特林公式是阶乘的渐近近似公式，表述为 n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ，其中 e 是自然常数（约 2.71828）。当 n 较大时，斯特林公式的近似精度非常高，相对误差约为 1/(12n)。这个公式在数学分析、概率论和统计物理中有重要应用，因为它将阶乘的离散运算转化为连续函数的形式，便于进行理论分析。在本工具中，科学计数法近似值的计算也参考了斯特林公式的思路。
勒让德公式（Legendre's Formula）
勒让德公式用于计算 n! 的质因数分解中某个质数 p 的指数，公式为：v_p(n!) = ⌊n/p⌋ + ⌊n/p²⌋ + ⌊n/p³⌋ + ...，其中 ⌊x⌋ 表示向下取整。本工具利用勒让德公式计算 n! 末尾零的个数（即因子 10 的个数，等于因子 2 和因子 5 的指数中较小的一个）。例如，100! 末尾有 ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4 = 24 个零。这个公式是数论中的经典结果。
双阶乘（Double Factorial）
双阶乘用符号「n!!」表示，是隔位相乘的运算。当 n 为奇数时，n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 1；当 n 为偶数时，n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2。例如 7!! = 7×5×3×1 = 105，8!! = 8×6×4×2 = 384。双阶乘在球坐标系中的体积积分、沃利斯公式以及某些特殊函数的展开中有重要应用。需要注意的是，本工具目前仅支持标准阶乘 n! 的计算，不支持双阶乘。
伽马函数（Gamma Function）
伽马函数 Γ(z) 是阶乘在复数域上的推广，定义为 Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1) × e^(-t) dt。对于正整数 n，有 Γ(n+1) = n!。伽马函数将阶乘从离散的正整数定义域扩展到了整个复平面（除了非正整数点），是数学分析和特殊函数理论中的重要工具。伽马函数与阶乘的关系解释了为什么 0! = 1：因为 Γ(1) = ∫₀^∞ e^(-t) dt = 1，所以 0! = Γ(1) = 1。
递推关系（Recurrence Relation）
递推关系是用前一项或前几项的值来定义数列的方程。阶乘满足最基本的递推关系：n! = n × (n-1)!，初始条件为 0! = 1。这意味着我们可以通过不断乘以递减的整数来计算阶乘，也可以反过来用 n! 除以 n 得到 (n-1)!。递推关系是计算机科学中动态规划和递归算法的理论基础，许多高效的阶乘计算算法（如分治乘法）都利用了阶乘的递推性质。
空乘积（Empty Product）
空乘积是指没有因子参与的乘积，按照数学约定，空乘积的值为 1。这个约定与空和（值为 0）类似，是数学中处理边界情况的重要概念。在阶乘的定义中，0! = 1 正是基于空乘积的约定——当 n=0 时，从 1 到 0 没有正整数参与乘法，因此结果为 1。空乘积约定在组合数学中至关重要，因为它确保了排列数公式 P(n,n) = n!/0! = n! 的自洽性，也使得二项式定理中的边界项能够正确计算。
科学计数法（Scientific Notation）
科学计数法是一种用 a × 10^b 的形式表示极大或极小数字的方法，其中 1 ≤ |a| < 10，b 为整数。在阶乘计算中，科学计数法特别有用——10000! 的结果有 35660 位数字，直接阅读几乎不可能，而用科学计数法表示为 ≈ 2.85 × 10^35659，可以直观了解其数量级。本工具在显示完整精确结果的同时，也提供科学计数法近似值，帮助用户在精确性和可读性之间取得平衡。科学计数法在物理学、天文学和工程学中被广泛使用。
末尾零（Trailing Zeros）
末尾零是指数字从右端开始连续出现的零的个数。在阶乘结果中，末尾零的个数等于 n! 中因子 10 的个数，而因子 10 = 2 × 5。由于在 n! 的质因数分解中，因子 2 的个数总是多于因子 5 的个数，因此末尾零的个数由因子 5 的个数决定，可以通过勒让德公式精确计算。末尾零在密码学、数值分析和组合优化中有实际应用，例如计算 n! 末尾零的个数是一道经典的编程面试题。