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欧拉法解微分方程 - 数值解可视化

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支持: sin, cos, exp, log, sqrt, ^ (幂运算)
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数值解可视化
欧拉法数值解 精确解
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常见问题与知识点
欧拉法是一阶数值方法，用于求解常微分方程初值问题 dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀。其核心公式为 yn+1 = yn + h·f(xn, yn)，每一步使用当前点的斜率来估计下一个点的值。它是龙格-库塔方法的基础。
欧拉法的局部截断误差为 O(h²)，全局截断误差为 O(h)。减小步长h可以降低误差，但会增加计算步数。步长减半，全局误差约减半。对于高精度需求，建议使用改进欧拉法或四阶龙格-库塔法(RK4)。
欧拉法适用于任何形式为 dy/dx = f(x,y) 的一阶常微分方程初值问题。包括指数增长/衰减、 logistic方程、谐振子方程（需转化为一阶方程组）等。但对于刚性方程(stiff equations)，欧拉法需要极小的步长才能稳定。
数值稳定性指误差在计算过程中是否会被放大。前向欧拉法是条件稳定的，对于方程 dy/dx = λy（λ<0），需要满足 |1+hλ| ≤ 1 即 h ≤ 2/|λ| 才能保持稳定。步长过大可能导致数值解发散。
欧拉法使用单点斜率（一阶精度）；改进欧拉法（Heun方法）使用两个斜率的平均（二阶精度）；经典四阶龙格-库塔法(RK4)使用四个斜率的加权平均（四阶精度），全局误差为O(h⁴)，远优于欧拉法。
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